Logika

"Ada hal-hal diluar logika, Tidak semua hal bisa dilogikan."

saya cukup sering mendengar orang berkata demikian. Nah.. sekarang saya mau nanya Apa itu Logika?

Logika, kata yang sering kita denger, diucapkan banyak orang tetapi saya yakin hanya sedikit orang yang paham apa itu logika.
Logika adalah kerangka bagi Ilmu Pengetahuan tanapanya mustahil ilmu pengetahuan akan tegak berdiri. Logika adalah Ilmu tentang Argumen. Tujuan dari Logika adalah membangun metode-metode bagaimana mengkontruksikan argumen kita sendiri dan juga bagaimana menganalisa argumen orang lain.

Yang saya maksud dengan argumen bukanlah perdebatan sengit penuh emosi tetapi pada logika yang dimaksud dengan argumen adalah sekumpulan pernyataan-pernyataan yang disebut premis yang bertujuan untuk mendukung, menjelaskan, memberikan alasan terhadap  pernyataan akhir yang disebut dengan kesimpulan.

Apai itu pernyataan?

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran yaitu benar atau salah.

Contoh:

1. Bensin mudah terbakar.
2. Cristiano Ronaldo adalah pemain bulu tangkis.
3. 5 adalah bilangan genap
4. Bandung merupakan ibukota jawa jawa barat.

Pernyataan 1 dan 5 bernilai benar sedangkan yang no2 dan no3 bernilai salah. Tidak semua kalimat merupakan pernyataan, dengan kata lain tidak semua kalimat mempunyai nilai kebeneran. Kalimat tanya, kalimat perintah, kaliamat seruan bukanlah pernyataan.

1. Bapakmu, kemana? (kalimat Tanya)
2. Ambilkan saya minum! (kalimat perintah)
3. Wah… Indah sekali. (kalimat seruan)

Ketiga kalimat diatas bukanlah pernyataan.

Setelah kalian tahu apa itu pernyataan. sekarang mari kita lihat contoh Argumen.

Semua manusia tidak abadi
Socrates manusia
Socrates Tidak abadi.

Contoh diatas terdiri dari 2 premis yaitu Semua manuasia tidak abadi dan Socrates manusia. Sedengkan ksimpulannya adalah: Socrates Tidak abadi . Butuh 2 pernyataan  untuk menjelaskan, untuk  mendukung pernyataan: Socrates Tidak abadi. Dalam logika, argumen disusun dengan format yang disebut bentuk standart (Standart form)

Premis 1 Premis 2
     .
     .
     . Premis n Kesimpulan.

Contoh argumen yang lain.

Semua ikan hidup di air

Lele adalah ikan

Lele hidup di air

Tentunya sekarang kalian sudah tahu yang mana premis, yang mana kesimpulan dari contoh argumen diatas.

Jadi jika kalian mempunyai pernyataan. Logika memberikan metode bagaimana menyusun premis-premis yang baik sehingga menjadi argumen yang utuh dan valid. Begitu pula sebaliknya logika memberikanmu metode menganalisis argumen orang lain

sumber :

 http://ariaturns.wordpress.com/2012/08/06/apa-itu-logika/

Proposisi

Proposisi adalah “pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya”.

Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak boleh mengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus.

Rumus ketentuannya :

Q +  S  +  K  +  P

Keterangan : Q : Pembilang / Jumlah
(ex: sebuah, sesuatu, beberapa, semua, sebagian, salah satu, bilangan satu s.d. tak terhingga) Q boleh tidak ditulis, jika S (subjek) merupakan nama dan subjek yang pembilang nya sudah jelas berapa jumlahnya :
a. Nama (Pram, Endah, Ken, Missell, dll)
b. Singkatan (PBB, IMF, NATO, RCTI, ITC, NASA, dll)
c. Institusi (DPRD, Presiden RI, Menteri Keuangan RI, Trans TV, Bank Mega, Alfamart, Sampurna, Garuda Airways, dll)

S : Subjek adalah sebuah kata atau rangkaian beberapa kata untuk diterangkan atau kalimat yang dapat berdiri sendiri (tidak menggantung).

K : Kopula, ada 5 macam : Adalah, ialah, yaitu, itu, merupakan.

P : Kata benda (tidak boleh kata sifat, kata keterangan, kata kerja).

Contoh :

1. Gedung MPR terletak 500 meter dari jembatan Semanggi.

Jawaban :
1. Cari P (kata bendanya dulu) : Gedung MPR atau Jembatan Semanggi,
2. Pasang K (kopula) yang cocok : adalah
3. Bentuk S (subjek) yang relevan : (lihat contoh)
4. Cari bentuk Q – nya yang sesuai.

Benar :

Sebuah + gedung yang terletak 500 meter dari jembatan Semanggi + adalah + gedung MPR.

Salah

500 meter + dari jembatan Semanggi + adalah + gedung MPR.

Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan

 kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomainB terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Relasi

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

 Macam penyajian relasi :

1. Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

  Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

  Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari bmaka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

 

2. Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :

3. Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

Contoh relasi pada diagram panah dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, yaitu :

R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)

 

 4. Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil

5. Penyajian Relasi dengan Matriks

   Relasi antara A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}

           

Jenis-jenis Relasi

1. Relasi Invers
Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:
A = {1,2,3}           B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

2. Relasi Refleksif
Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

Contoh Relasi Refleksif

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

3. Relasi Simetrik
Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh Relasi Simetrik :

 perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

4. Relasi anti Simetrik
Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)},l maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.

5. Relasi Transitif
Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain

Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}l

6. Relasi Equivalen

Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

 Sekian penjelasannya, untuk  lebih paham, ada 1 soal nih.

   Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:

refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.

R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7. 

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7. 

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel

berikut:

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R3

(2,1)   (1,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,2)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,3)   (3,3)   (1,3)        Anggota R5

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R5

(2,2)   (2,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,3)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

(2,4)   

(3,3)   

(3,4)   

(4,4)   

Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.