Himpunan dan Bilangan

Himpunan adalah sekelompok objek yang mempunyai sifat keterlibatan yang sama dan dapat dibedakan antara objek yang satu dengan yang lainnya. Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C … sedangkan unsur suatu himpunan dituliskan dengan huruf kecil, seperti a, b, x, y, z, …

1.    CARA PENULISAN HIMPUNAN

Suatu himpunan dapat dituliskan  dengan dua cara, yaitu :

    Cara Pendaftaran (Roster Method)

unsur himpunan didaftarkan satu per satu

misalnya A = { a, b, c, d, e }

    Cara Perincian (Rule Method)

unsur himpunan dituliskan atas dasar sifat unsur tersebut.

misalnya A = { x | sifat-sifat dari x }

2.    KEANGGOTAAN HIMPUNAN

Untuk menyatakan suatu unsur merupakan “anggota” pada suatu himpunan digunakan lambang “”, sedangkan lambang “” menyatakan “bukan anggota” dari suatu himpunan.

Diagram Venn

Pernyataan		Diagram
1	Himpunan Semesta U
2	U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3	ATU
4	ATU BTA BTU
5	A = B
6	CTBTATU Contoh {Bilangan Asli} A = {1,2,3,... 10} B = {1,3,5,9} C = {1,3}

Operasi		Diagram
Gabungan Himpunan	A = {a,b,c,d} B = {e,f} A U B = {a,b,c,d,e,f,}
	A = {1,2,3,4} C = {3,4,5} A U C = {1,2,3,4,5}
	E = {x,y,z} F = {x} E U F = {x,y,z}
Irisan	A = {a,b,c,d} B = {c,d,e} A W B= {c,d}
	C = {a,b,c,d} D = {a,b} C W D = {a,b}
	E = {a,b,c} F = {1,2,3} E W F = { Ø }
Selisih Himpunan	A = {a,b,c} B = {d,e} A / B = {a,b,c}
	C = {1,2,3} D = {3,4} C / D = {1,2}
	D / C = {4}
Himpunan Komplemen	A’ atau komplemen dari A
	(A W B)’ = A’ U B’
	A’ W B’ = (AUB)’

OPERASI ANTAR HIMPUNAN

Berikut adalah tiga operasi dasar.

(1)   Gabungan

Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan. Gabungan A dan B, ditulis , didefinisikan sebagai himpunan yang memuat objek-objek x yang merupakan anggota pada sedikitnya satu dari himpunan Adan B. Lebih lanjut, didefinisikan

                  

(2)   Irisan

Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan. Irisan A dan B, ditulis , didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari objek-objek x yang merupakan anggota keduanya himpunan A dan B. Lebih lanjut, didefinisikan

                        .

(3)   Selisih

Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan. Selisih A dan B, ditulis , didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari objek-objek x yang merupakan anggota A tetapi bukan anggota B, dan ditulis

                        .

Catatan: Selisih himpunan A dan B terkadang ditulis  atau .

            Himpunan A dan B dikatakan saling asing jika dan hanya jika  (yaitu himpunan A dan B tidak memiliki elemen bersama), sebaliknya dikatakan tidak saling asing atau saling tumpang tindih.

            Konsep gabungan dan irisan dapat digeneralisasi sebagai berikut:

Jika  keluarga himpunan-himpunan, maka

                        

                        

Jika A himpunan bagian dari S, maka  disebut komplemen A relatif terhadap S, ditulis

                        .

Jika A juga himpunan bagian dari T dengan , maka  dan  himpunan-himpunan yang berbeda  .